Question

16．設(shè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…，x_n中的最大數(shù)為max{x₁，x₂，…，x_n}，最小數(shù)為min{x₁，x₂，…，x_n}．已知1≤x≤y且三數(shù)1，x，y能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，記t=max{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}•min{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}，求：
（1）若y=x²，則t的最小值為1；
（2）t的取值范圍是$[1，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}）$．

Answer 1

分析 （1）若y=x²，則由1≤x≤y可得$\frac{1}{x}$=$\frac{x}{y}$≤y，此時(shí)此時(shí)t=x，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，t的最小值為1；
（2）顯然max{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=y，又min{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，y＜{x}^{2}\\ \frac{x}{y}，y≥{x}^{2}\end{array}\right.$，分類討論，作出可行區(qū)域，求出在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出t的取值范圍．

解答 解：（1）y=x²，由1≤x≤y，
可得$\frac{1}{x}$=$\frac{x}{y}$≤y，
此時(shí)t=max{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}•min{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=$\frac{x}{y}$•y=x，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，t的最小值為1，
（2）∵1≤x≤y且三數(shù)1，x，y能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，
∴max{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=y，又min{$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{y}$，y}=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}，y＜{x}^{2}\\ \frac{x}{y}，y≥{x}^{2}\end{array}\right.$，
①當(dāng)y＜x²時(shí)，t=$\frac{y}{x}$，作出可行區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤y\\ y＜x+1\\ y＜{x}^{2}\end{array}\right.$，

因拋物線y=x²與直線y=x及y=x+1在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），從而1＜t＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
②當(dāng)y≥x²時(shí)，t=x，作出可行區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤y\\ y＜x+1\\ y≥{x}^{2}\end{array}\right.$，

因拋物線y=x²與直線y=x及y=x+1在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），從而1≤t＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
綜上所述，t的取值范圍是[1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）．
故答案為：[1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）．
故答案為：1，[1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查t的取值范圍，考查拋物線知識(shí)，考查新定義，確定可行區(qū)域，求出在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．