Question

4．四面體ABCD中，AD⊥BC，且AB+BD=AC+CD，則下列命題正確的是①③④（寫出所有正確命題的編號）．
①由頂點D作四面體的高，其垂足為H，則AH為△ABC中BC邊上的高；
②若分別作△BAD和△CAD的邊AD上的高，則這兩條高所在直線異面；
③若分別作△BAD和△CAD的邊AD上的高，則這兩條高長度相等；
④若M為AD上的動點，則均有MB=MC；
⑤AB=CD且BD=AC．

Answer 1

分析 ①過點D作DH⊥面ABC，由線面垂直的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定即可判斷；
②過B在△ABD中作BO⊥AD，連接CO，運用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷②；
③運用空間中橢球的定義，類似平面上橢圓的定義，即可判斷③；
④由直角三角形的勾股定理，結(jié)合③即可判斷④；
⑤由④結(jié)合已知條件AB+BD=AC+CD，即可判斷．

解答 解：①過點D作DH⊥面ABC，則DH⊥BC，
又AD⊥BC，則BC⊥面ADH，AH⊥BC，
∴AH為△ABC中BC邊上的高，故①正確；
②過B在△ABD中作BO⊥AD，垂足為O，連接CO，
由于AD⊥BC，又AD⊥BO，
故AD⊥平面BCO，則AD⊥CO，
即CO為邊AD上的高，
顯然BO，CO相交，故②錯；
③在三棱錐A-BCD中，AB+BD=AC+CD＞AD，
則B，C均在以A，D為焦點的橢球上，
由于AD垂直于平面BCO，則AD垂直于BC，
且B，C位于同一緯度，如圖，故BO=CO，故③正確；
④在直角△MOB和直角△MOC中，BO=CO，MO=MO，
由勾股定理得，MB=MB，故④正確；
⑤在直角△ABO和直角△ACO中，BO=CO，
由勾股定理得，AB=AC，同理DB=DC，而AB+BD=AC+CD，
∴當(dāng)AB≠BD時，AB≠CD且BD≠AC，故⑤錯誤．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查平面幾何中的全等知識和勾股定理及運用，考查空間中到兩定點的距離之和為定值的軌跡為橢球，屬于難題．