Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n+1=4a_n，數(shù)列{b_n}滿足（

1

2

） bn=a_n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)當(dāng)n=1時S₁=a₁，當(dāng)n≥2時a_n=S_n-S_n-1，化簡得到a_n=2a_n-1，由等比數(shù)列的定義和通項公式求出
a_n，再利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意求出c_n，利用錯位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，2S_n+1=4a_n，
當(dāng)n=1時，2S₁+1=4a₁，解得a₁=

1

2

，
當(dāng)n≥2時，2S_n+1=4a_n，
2S_n-1+1=4a_n-1，兩式相減得，
2a_n=4a_n-4a_n-1，得a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2，
所以數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項、2為公比的等比數(shù)列，
則a_n=

1

2

•2n-1=2^n-2，
因為（

1

2

） bn=a_n²，所以2-bn=22n-4，
則b_n=-2n+4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c_n=

bn

an

=

-2n+4

2n-2

，
所以T_n=

2

2-1

+

0

20

+

-2

21

+…+

-2n+6

2n-3

+

-2n+4

2n-2

   ①，

1

2

T_n=

2

20

+

0

21

+

-2

22

+…+

-2n+6

2n-2

+

-2n+4

2n-1

       ②，
①-②得，

1

2

T_n=4-2[

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-2

]-

-2n+4

2n-1

=4-2×

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

-2n+4

2n-1

=

4

2n-1

-

-2n+4

2n-1

=

2n

2n-1

=

n

2n-2

，
所以T_n=

n

2n-3

．

點評：本題考查數(shù)列a_n與S_n的關(guān)系式，等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式，以及錯位相減法求出數(shù)列的前n項和，考查指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡計算能力．