Question

18．已知四棱錐中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=120°，PA=3．
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，M為OC中點(diǎn)，求PM與平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC．
（II）過M作MN⊥AD于N，連PN，證明∠MPN為PM與平面PAD所成的角，即可得出結(jié)論．

解答 （I）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，
又ABCD為菱形，所以AC⊥BD，
因?yàn)镻A∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，
因?yàn)锽D?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．        …（4分）
（II）解：過M作MN⊥AD于N，連PN，
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥MN，故MN⊥平面PAD，
所以∠MPN為PM與平面PAD所成的角．…（8分）
又MN=AMsin60°=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$AN=$\frac{3}{2}$
所以PN=$\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
所以$tan∠MPN=\frac{MN}{PN}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、面面垂直的判定，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、面面垂直的判定，作出線面角．