【題目】已知函數(shù)(, ),(),且在點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅰ)求, 的值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)()為兩曲線(),的交點(diǎn),且兩曲線在交點(diǎn)處的切線分別為, .若取,試判斷當(dāng)直線, 與軸圍成等腰三角形時(shí)值的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由.
【答案】(1), .(2)或.(3), 能與軸圍成等腰三角形時(shí), 值的個(gè)數(shù)有2個(gè).
【解析】試題分析:
(1)利用導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系可得, .
(2)構(gòu)造函數(shù);結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分類討論可得的取值范圍是或.
(3) 設(shè)兩切線, 的傾斜角分別為, ,分類討論可得, 能與軸圍成等腰三角形時(shí), 值的個(gè)數(shù)有2個(gè).
試題解析:
解:(Ⅰ) , ,又, , .
(Ⅱ);
由得, 或.
,當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).
若,即,當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值點(diǎn),
若,即,當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),函數(shù)有極大值點(diǎn),
綜上, 的取值范圍是或.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),設(shè)兩切線, 的傾斜角分別為, ,
則, , , , 均為銳角,
當(dāng),即時(shí),若直線, 能與軸圍成等腰三角形,則;
當(dāng),即時(shí),若直線, 能與軸圍成等腰三角形,則.
由得, ,得,
即,此方程有唯一解 , , 能與軸圍成一個(gè)等腰三角形.
由得, ,得,即,
設(shè), ,
當(dāng)時(shí), , 在單調(diào)遞增,則在單調(diào)遞增,
由于,且,所以,則,
即方程在有唯一解,直線, 能與軸圍成一個(gè)等腰三角形.
因此,當(dāng)時(shí),有兩處符合題意,所以, 能與軸圍成等腰三角形時(shí), 值的個(gè)數(shù)有2個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的方程為.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最小值.
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【題目】數(shù)列{an}中,已知對(duì)任意n∈N* , a1+a2+a3+…+an=3n﹣1,則a12+a22+a32+…+an2等于( )
A.(3n﹣1)2
B.
C.9n﹣1
D.
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【題目】已知p:函數(shù)f(x)=lg(ax2﹣x+ a)的定義域?yàn)镽;q:a≥1.如果命題“p∨q為真,p∧q為假”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,四棱錐中,底面是矩形,平面 平面,且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, ,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面 ;
(2)求四面體的體積.
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【題目】某早餐店每天制作甲、乙兩種口味的糕點(diǎn)共n(nN*)份,每份糕點(diǎn)的成本1元,售價(jià)2元,如果當(dāng)天賣不完,剩下的糕點(diǎn)作廢品處理.該早餐店發(fā)現(xiàn)這兩種糕點(diǎn)每天都有剩余,為此整理了過(guò)往100天這兩種糕點(diǎn)的日銷量(單位:份),得到如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
甲口味糕點(diǎn)日銷量 | 48 | 49 | 50 | 51 |
天數(shù) | 20 | 40 | 20 | 20 |
乙口味糕點(diǎn)日銷量 | 48 | 49 | 50 | 51 |
天數(shù) | 40 | 30 | 20 | 10 |
以這100天記錄的各銷量的頻率作為各銷量的概率,假設(shè)這兩種糕點(diǎn)的日銷量相互獨(dú)立.
(1)記該店這兩種糕點(diǎn)每日的總銷量為X份,求X的分布列
(2)早餐店為了減少浪費(fèi),提升利潤(rùn),決定調(diào)整每天制作糕點(diǎn)的份數(shù)
①若產(chǎn)生浪費(fèi)的概率不超過(guò)0.6,求n的最大值;
②以銷售這兩種糕點(diǎn)的日總利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù),在每天所制糕點(diǎn)能全部賣完與n=98之中選其一,應(yīng)選哪個(gè)?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x-3)ex+ax,aR
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(2)當(dāng)a[0,e)時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在(1,+)上的最小值為g(a),求函數(shù)g(a)的值域.
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【題目】設(shè)向量 =(sin x,cos x), =(sin x, sin x),x∈R,函數(shù)f(x)= ,求:
(1)f(x)的最小正周期;
(2)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值時(shí)x的值.
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【題目】“中國(guó)式過(guò)馬路”是網(wǎng)友對(duì)部分中國(guó)人集體闖紅燈現(xiàn)象的一種調(diào)侃,即“湊夠一撮人就可以走了,和紅綠燈無(wú)關(guān).”出現(xiàn)這種現(xiàn)象是大家受法不責(zé)眾的“從眾”心理影響,從而不顧及交通安全.某校對(duì)全校學(xué)生過(guò)馬路方式進(jìn)行調(diào)查,在所有參與調(diào)查的人中,“跟從別人闖紅燈”“從不闖紅燈”“帶頭闖紅燈”人數(shù)如表所示:
跟從別人闖紅燈 | 從不闖紅燈 | 帶頭闖紅燈 | |
男生 | 800 | 450 | 200 |
女生 | 100 | 150 | 300 |
(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人,已知“跟從別人闖紅燈”的人中抽取45人,求n的值;
(2)在“帶頭闖紅燈”的人中,將男生的200人編號(hào)為1,2,…,200;將女生的300人編號(hào)為201,202,…,500,用系統(tǒng)抽樣的方法抽取4人參加“文明交通”宣傳活動(dòng),若抽取的第一個(gè)人的編號(hào)為100,把抽取的4人看成一個(gè)總體,從這4人中任選取2人,求這兩人均是女生的概率.
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