Question

8．設(shè)集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，f是A到B的一個(gè)映射，并滿足f：（x，y）→（-xy，x-y）
（1）A中的哪一個(gè)元素對(duì)應(yīng)B中的元素（3，4）？
（2）試探索B中哪些元素可以由A中元素對(duì)應(yīng)而得；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)時(shí)，a，b滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由題意得到-xy=3，x-y=4，從而能求出A中元素（3，-1）和（1，-3）對(duì)應(yīng)B中的元素（3，4）．
（2）假設(shè)B中元素為（a，b），則-xy=a，x-y=b，從而x，-y為方程u²-bu+a=0的根，由此能求出只要B中的元素（a，b）滿足b²≥4a，則它在A中存在對(duì)應(yīng)元素．
（3）假設(shè)B中元素為（a，b），由B中元素（a，b）在A中有且只有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)，得到△=b²-4a=0，從而a，b滿足的關(guān)系式為b²=4a．

解答 解：（1）∵集合A=B={（x，y）|x，y∈R}，f是A到B的一個(gè)映射，并滿足f：（x，y）→（-xy，x-y）
A中的元素（x，y）對(duì)應(yīng)B中的元素（3，4），
∴-xy=3，x-y=4得：$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-3\end{array}\right.$，
故A中元素（3，-1）和（1，-3）對(duì)應(yīng)B中的元素（3，4）；
（2）假設(shè)B中元素為（a，b），
則-xy=a，x-y=b
則x，-y為方程u²-bu+a=0的根，
∴△=b²-4a≥0，
∴只要B中的元素（a，b）滿足b²≥4a，則它在A中存在對(duì)應(yīng)元素．
（3）假設(shè)B中元素為（a，b），
則-xy=a，x-y=b
則x，-y為方程u²-bu+a=0的根，
∵B中元素（a，b）在A中有且只有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)，
∴△=b²-4a=0，
∴a，b滿足的關(guān)系式為b²=4a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查映射的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及到函數(shù)性質(zhì)、根的判別式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．