Question

13．已知向量$\overrightarrow a$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow b$=（2，-1），若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，則cos2θ+sin2θ=（　�。�

• A． -$\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 求出tanθ=$\frac{1}{2}$，把所求式子的cos2θ利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，將所求式子的分母“1”變?yōu)閟in²θ+cos²θ，然后分子分母都除以cos²θ，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可得到關(guān)于tanθ的關(guān)系式，把tanθ的值代入即可求出值．

解答 解：因為向量$\overrightarrow a$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow b$=（2，-1），$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
所以2sinθ-cosθ=0
所以tanθ=$\frac{1}{2}$，
所以sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos²θ-sin²θ=$\frac{2tanθ+1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{7}{5}$
故選：D．

點評 此題考查學生靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，是一道基礎題．做題時注意“1”的靈活變換．