Question

設函數f（x）是定義在（-∞，0）上的可導函數，其導函數為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式（x+2014）²f（x+2014）-4f（-2）＜0的解集為（　�。�

• A、（-∞，-2012）
• B、（-2012，0）
• C、（-∞，-2016）
• D、（-2016，-2014）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：通過觀察2f（x）+xf′（x）＞x²，不等式的左邊像一個函數的導數，又直接寫不出來，對該不等式兩邊同乘以x，∵x＜0，∴會得到2xf（x）+x²f′（x）＜x³，而這時不等式的左邊是（x²f（x））′，所以構造函數F（x）=x²f（x），則能判斷該函數在（-∞，0）上是減函數．這時F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-2）=4f（-2），而到這會發(fā)現不等式（x+2014）²f（x+2014）-4f（-2）＜0可以變成F（x+2014）＜F（-2），從而解這個不等式便可，而這個不等式利用F（x）的單調性可以求解．

解答： 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³
即[x²f（x）]′＜x³＜0；
令F（x）=x²f（x）；
則當x＜0時，F'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是減函數；
∴F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-2）=4f（-2）；
即不等式等價為F（x+2014）-F（-2）＜0；
∵F（x）在（-∞，0）是減函數；
∴由F（x+2014）＜F（-2）得，x+2014＞-2，∴x＞-2016；
又x+2014＜0，∴x＜-2014；
∴-2016＜x＜-2014．
∴原不等式的解集是（-2016，-2014）．
故答案選D．

點評：本題考查函數的單調性與導數的關系，兩個函數乘積的導數的求法，而構造函數是解本題的關鍵．