Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分別為CC₁和A₁B的中點(diǎn)，A₁D⊥CC₁，側(cè)面ABB₁A₁為菱形且∠BAA₁=60°，AA₁=A₁D=2，BC=1，
（Ⅰ）證明：直線MD∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （I）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可．
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法結(jié)合二面角的余弦值求出F的位置即可得到結(jié)論．

解答 解：∵AD₁⊥CD₁，且D為中點(diǎn)，AA₁=A₁D=2，
∴CA₁=A₁C₁=$\sqrt{5}$=AC，
∵BC=1，AB=BA₁=2
∴CB⊥BA，CB⊥BA₁，
∵BA∩BA₁=B，∴CB⊥ABB₁A₁，
取AA₁的中點(diǎn)F，則BF⊥AA₁，
即BC，BF，BB₁兩兩垂直，
建立以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BB₁，BF，BC分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則B₁（2，0，0），C（0，0，1），A（-1，$\sqrt{3}$，0），C₁（2，0，1），D（1，0，1），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）
（Ⅰ）設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BA}$=-x+$\sqrt{3}y$=0，
$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{BC}$=z=0，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
∵$\overrightarrow{MD}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{MD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，
∴$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{MD}$，又MD?平面ABC，
∴直線MD∥平面ABC．
（Ⅱ）設(shè)平面ACA₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{AC}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（2，0，0），
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AC}$=x-$\sqrt{3}$y+z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=2x=0，取$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2×2}$=$\frac{1}{4}$，
∵二面角B-AC-A₁為銳角，∴，
∴二面角B-AC-A₁的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．