Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系上放置一個邊長為1的正方形，此正方形沿軸滾動（向左或向右均可），滾動開始時，點位于原點處，設(shè)頂點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，，該函數(shù)相鄰兩個零點之間的距離為.

（1）寫出的值并求出頂點到的最小運動路徑的長度的值；

（2）寫出函數(shù)，，的表達(dá)式；并研究該函數(shù)除周期外的基本性質(zhì)（無需證明）.

Answer 1

【答案】（1），；（2）函數(shù)，，

奇偶性：偶函數(shù)；遞增區(qū)間：，；遞減區(qū)間，；零點：，.

【解析】

（1）畫出點的運動軌跡，即可得出與的值.

（2）根據(jù)所畫的點的運動軌跡，即可寫出函數(shù)，，的表達(dá)式與函數(shù)的基本性質(zhì).

（1）點的運動軌跡如圖所示：

因為正方形的周長為4,所以.

當(dāng)，點運動路徑的長度

（2） 當(dāng)，時，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

當(dāng)，時，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即

當(dāng)，時，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

當(dāng)，時，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

所以函數(shù)，，

由圖可知：

奇偶性：偶函數(shù)；遞增區(qū)間：，；遞減區(qū)間，；零點：，.