Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（ e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x₁≠x₂，f（x₁）=f（x₂）時(shí)，證明：x₁+x₂＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意得：若f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，則必有x₁，x₂∈（-1，+∞），不妨設(shè)x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞），若證x₁+x₂＞0，即證x₂＞-x₁＞0，只需證：f（x₂）＞f（-x₁），即證明$g（x）=\frac{e^x}{x+1}-\frac{{{e^{-x}}}}{1-x}＞0$在x∈（-1，0）上恒成立，通過討論g（x）的單調(diào)性即可證明．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x+1}$（x≠-1）得：$f'（x）=\frac{{x{e^x}}}{{{{（x+1）}^2}}}$，x≠-1，
令f′（x）＞0得：x＞0，令f′（x）＜0得：x＜0，x≠-1，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1），（-1，0）．
（2）由（1）知，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，
則f（x）在（-1，0）為減函數(shù)，在（0，+∞）為增函數(shù)，
若f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，則必有x₁，x₂∈（-1，+∞），
不妨設(shè)x₁∈（-1，0），x₂∈（0，+∞）．
若證x₁+x₂＞0，即證x₂＞-x₁＞0，只需證：f（x₂）＞f（-x₁）
即：f（x₁）＞f（-x₁），設(shè)g（x）=f（x）-f（-x），x∈（-1，0），
即$g（x）=\frac{e^x}{x+1}-\frac{{{e^{-x}}}}{1-x}＞0$在x∈（-1，0）上恒成立，
即（1-x）e^2x-（1+x）＞0．
設(shè)h（x）=（1-x）e^2x-（1+x），x∈（-1，0）h′（x）=e^2x（1-2x）-1，（h′（x）′=-4xe^2x＞0，
∴h′（x）是（-1，0）上的增函數(shù)，故h′（x）＜h′（0）=0，
∴h（x）是（-1，0）上是減函數(shù)，故h（x）＞h（0）=0，所以原命題成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察函數(shù)恒成立問題，通過證明$g（x）=\frac{e^x}{x+1}-\frac{{{e^{-x}}}}{1-x}＞0$在x∈（-1，0）上恒成立是解答（2）的關(guān)鍵，本題是一道難題．