Question

15．以半徑為R的半球的球心O為頂點(diǎn)的圓錐內(nèi)接于半球，且圓錐底面平行于半球大圓面，則圓錐體積的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{27}$πR³．

Answer 1

分析 設(shè)圓錐高為h，則底面半徑為$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，可得圓錐體積，利用導(dǎo)數(shù)的方法求出圓錐體積的最大值．

解答 解：設(shè)圓錐高為h，則底面半徑為$\sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}}$，
∴圓錐體積V=$\frac{1}{3}π（{R}^{2}-{h}^{2}）h$，
∴V′=$\frac{1}{3}π（{R}^{2}-3{h}^{2}）$，
∴R=$\sqrt{3}$h時(shí)，圓錐體積的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{27}$πR³．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{27}$πR³

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐體積的最大值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確表示圓錐體積是關(guān)鍵．