某同學對函數(shù)f（x）=xcosx進行研究后，得出以下五個結論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②對任意實數(shù)x，f（x）＞0均成立；
③函數(shù)[a，b]的圖象與x軸有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，且任意相鄰兩點的距離相等；
⑤當常數(shù)k滿足|k|＞1時，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個公共點．
其中所有正確結論的序號是（　�。�
A、①②④B、①②③④
C、①②④⑤D、①②③④⑤
考點：命題的真假判斷與應用
專題：轉化思想,三角函數(shù)的圖像與性質
分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=xcosx是奇函數(shù)可得①正確．根據(jù)|cosx|≤1，可得②正確．根據(jù)當x=kπ+
π
2
，k∈z 時，
函數(shù)f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，可得③不正確．根據(jù)當 x=2kπ，k∈z 時，方程xcosx=x 成立，
可得④正確．根據(jù)方程 xcosx=kx，|k|＞1，有唯一解為 x=0，可得⑤正確．
解答： 解：由于函數(shù)f（x）=xcosx是奇函數(shù)，故圖象關于原點對稱，故①正確．
由于|cosx|≤1，故|f（x）|≤|x|，∴f（x）≤|x|成立，故②正確．
由于當x=kπ+
π
2
，k∈z 時，函數(shù)f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，故函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮
多個公共點，但任意相鄰兩個公共點的距離不一定相等，如相鄰的公共點（0，0）、
（
π
2
，0）、（
3π
2
，0），顯然不滿足③，故③不正確．
由于方程xcosx=x 即cosx=1，故  x=2kπ，k∈z，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個公共點，
且任意相鄰兩個點的距離相等，且等于2π，故④正確．
由方程 xcosx=kx，|k|＞1，可得此方程有唯一解為 x=0，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx
有且僅有一個公共點，故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．
點評：本題考查余弦函數(shù)的圖象性質，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
k(x-1)
x
．
（1）當k=e時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l1：2x-y+3=0和直線l2：x=-1，則拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和l2的距離值和的最小值是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線
x2
4
-y2=1的焦點坐標是（　　）
A、（±
3
，0）
B、（±
5
，0）
C、（0，±
3
）
D、（0，±
5
）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（　�。�
A、
x2
4
-
y2
5
=1
B、
x2
5
-
y2
4
=1
C、
x2
3
-
y2
6
=1
D、
x2
6
-
y2
3
=1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以拋物線y=
1
4
x2的焦點為圓心，3為半徑的圓與直線4x+3y+2=0相交所得的弦的長度是（　�。�
A、
4
5
2
B、4
2
C、2
2
D、8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△OAB中，OA=4，OB=2，∠AOB=
2π
3
，點P是線段OA和OB的垂直平分線的交點，記
OP
=x
OA
+y
OB
，則x+y的值為（　�。�
A、
1
2
B、
4
3
C、
7
4
D、
13
6

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y滿足約束條件
x+y≥-1
x-y≤3
x≥0
y≤0
，則z=x+2y的取值范圍為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=3x+
1
3x
的最值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案