Question

14．已知0＜x＜1，則$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$的最小值為9．

Answer 1

分析 根據(jù)y=$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$=（$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$）[x+（1-x）]=1+4+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{4x}{1-x}$，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1，
則y=$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$=（$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$）[x+（1-x）]=1+4+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{4x}{1-x}$≥5+2$\sqrt{\frac{1-x}{x}•\frac{4x}{1-x}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1-x}{x}$=$\frac{4x}{1-x}$，即x=$\frac{1}{3}$時(shí)，取等號(hào)，
故y=$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$ 的最小值為9，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用基本不等式求解函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是靈活利用x+（1-x）=1的條件，注意基本不等式成立的條件，屬于中檔題．