Question

12．設函數f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，g（x）=-$\frac{1}{2}a（{x^2}-x-2）$，其中a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x＞1，都有f（x）＞g（x-1）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，二次求導，得到導函數的符號，從而求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉化為$φ（x）=lnx+\frac{1}{2}a（x-1（（x-3）＞0$對x＞0恒成立，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，從而求出滿足條件的a的具體范圍即可．

解答 解：（I） $f'（x）=\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{x-lnx-1}{{{{（x-1）}^2}}}（x＞0且x≠1）$
令u（x）=x-lnx-1，$u'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
∴u（x）在（0，1）上單減，在（1，+∞）上單增，
∴u（x）≥u（1）=0，
∴f（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單增，無單調減區(qū)間..﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（5分）
（Ⅱ）因為?x＞0，f（x）≥g（x-1）成立，
即$φ（x）=lnx+\frac{1}{2}a（x-1（（x-3）＞0$對x＞0恒成立，
$φ'（x）=\frac{1}{x}+a（x-2）=\frac{{a{{（x-1）}^2}+1-a}}{x}（x＞1）$﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（6分）
（1）當0≤a≤1時，φ'（x）≥0，
則φ（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴φ（x）＞φ（1）=0，滿足題意．．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（8分）
（2）當a＞1時，令φ'（x）＜0，則$1＜x＜1+\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
∴φ（x）在$（1，1+\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$上單調遞減，
∴x∈$（1，1+\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$時，∴φ（x）＜φ（1）=0，不滿足題意..﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（10分）
（3）當a＜0時，令φ'（x）＞0，則$1＜x＜1+\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
∴φ（x）在$（1，1+\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$上單調遞增，在$（1+\sqrt{\frac{a-1}{a}}，+∞）$上單調遞減，．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（11分）
容易證明：lnx＜x-1（x＞1），
取${x_0}=3-\frac{2}{a}∈（1+\sqrt{\frac{a-1}{a}}，+∞）$時，
$φ（{x_0}）=ln{x_0}+\frac{1}{2}a（{x_0}-1）（{x_0}-3）＜{x_0}-1+\frac{1}{2}a（{x_0}-1）（{x_0}-3）$，
∴$φ（{x_0}）＜（{x_0}-1）[1+\frac{1}{2}a（{x_0}-3）]=（{x_0}-1）（1+\frac{a}{2}×\frac{-2}{a}）=0$，不滿足題意．
綜上所述：a的取值范圍[0，1]．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（14分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．