Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx．
（Ⅰ）若a=3，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥2a-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間和極值且為最值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥2a-1，即為ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx≥2a-1，討論x=1和x＞1，由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，即可判斷g（x）的單調(diào)性，可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=3x+$\frac{2}{x}$-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3-$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（3x+2）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得x=1處f（x）取得最小值，且為f（1）=5；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥2a-1，
即為ax+$\frac{a-1}{x}$-lnx≥2a-1，
當(dāng)x=1時(shí)，上式顯然成立．
當(dāng)x＞1時(shí)，可得a≥$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$．
由$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$-1=$\frac{xlnx-（x-1）-（x-1）^{2}}{（x-1）^{2}}$，
設(shè)g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），
g′（x）=1+lnx-1-2（x-1）=lnx-2（x-1），
由g″（x）=$\frac{1}{x}$-2＜0在x＞1恒成立，
可得g′（x）在（1，+∞）遞減，可得g′（x）＜g′（1）=0，
即g（x）在（1，+∞）遞減，可得g（x）＜g（1）=0，
則$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$＜1成立，
即有a≥1．
即a的范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．