Question

12．已知△ABC中，${\overrightarrow{AB}^2}-（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}）=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，邊AB，BC的中點分別為D，E．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AE}$=0，求sin2B的值．

Answer 1

分析 （1）根據向量的加減運算法則，將已知化簡，結合向量數量積的運算性質，可得 CA⊥CB，得△ABC是直角三角形，
（2）構建直角坐標系，求出sinB，再根據二倍角公式即可求出．

解答 解：（1）由題設得$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}）=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
又在△ABC中，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow 0$，
即$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow 0$
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，即AC⊥BC
∴△ABC為直角三角形
（2）運用坐標法，如圖建立平面直角坐標系．

設A（a，0），B（0，b），則$E（0，\frac{2}），D（\frac{a}{2}，\frac{2}）$，
∴$\overrightarrow{CD}=（\frac{a}{2}，\frac{2}）$$\overrightarrow{AE}=（-a，\frac{2}）$，
∴由$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AE}=0$得$-\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{4}=0$，
∴$b=\sqrt{2}a$
∴$sinB=\frac{{|{\overrightarrow{AC}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}=\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{a}{{\sqrt{3{a^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$于是有$sin2B=2sinBcosB=2×\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

點評 本題給出三角形ABC中的向量等式，判斷三角形的形狀，著重考查了向量的加減法則、數量積的定義與運算性質等知識，以及同角的三角形函數的關系和二倍角公式，屬于中檔題．