Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，E為PC上任意一點(diǎn)．
（1）求證：面BED⊥面PAC；
（2）若E是PC中點(diǎn)，AB=PA=a，求二面角E-CD-A的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明面BED⊥面PAC；
（2）根據(jù)二面角的平面角的定義，作出二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求二面角E-CD-A的大�。�

解答： 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD，
∵四棱錐P-ABCD的底面是菱形，
∴BD⊥AC，則BD⊥面PAC，
∵BD?面BED，∴面BED⊥面PAC；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=PA=a，
∴△OCD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，
過O作OF⊥CD于F，連結(jié)EF，
∵E是PC中點(diǎn)，
∴EO∥PA，
則EO⊥底面ABCD，
則∠EFO是二面角E-CD-A的平面角．
∵EO=

1

2

PA=

a

2

．BD=

3

a，
∴OF=

1

2

OD=

1

4

BD=

3 a

4

，
則tan∠EFO=

EO

OF

=

a 2

3 a 4

=

2 3

3

，
即∠EFO=arctan

2 3

3

．
則二面角E-CD-A的大小為arctan

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的大小，求出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．