Question

12．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a：b：c=$\sqrt{13}$：4：3，設(shè)$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AB}$cosA，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AC}$sinA，又△ABC的面積為S，則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{13}}{2}$S
• B． $\frac{3}{2}$S
• C． S
• D． $\frac{1}{2}$S

Answer 1

分析 由題意，利用比例的性質(zhì)及余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A的范圍可求A的值，利用三角形面積公式可求三角形面積，由已知可求向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$，利用平面向量的數(shù)量積的運算化簡即可得解．

解答 解：由題意可設(shè)：a=$\sqrt{13}$x，b=4x，c=3x，x＞0，
則由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（16+9-13）{x}^{2}}{2×4x×3x}$=$\frac{1}{2}$，結(jié)合A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{3}$．
從而解得△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|，
可得：$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AB}$cosA=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{AC}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
可得：$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$||$\overrightarrow{n}$|cosA=|$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$|×|$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\overrightarrow{AC}$|×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{1}{2}$S，
故選：D．

點評 本題主要考查了比例的性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，平面向量的數(shù)量積的運算在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．