Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，三角形ADP中AD=AP=5，PD=6，M、N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD．
（2）求異面直線MN與AD夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取CD中點O，連結NO、MO，推導出平面MON∥平面ADP，由此能證明MN∥平面APD．
（2）取PD中點H，連結AH、NH、AH，推導出∠HAD是異面直線MN與AD夾角，由此能求出異面直線MN與AD夾角的余弦值．

解答 證明：（1）取CD中點O，連結NO、MO，
∵M、N分別是AB，PC的中點，
∴NO∥PD，MO∥AD，
∵NO∩MO=O，PD∩AD=D，
NO，MO?平面MNO，PD、AD?平面APD，
∴平面MON∥平面ADP，
∵MN?平面MON，∴MN∥平面APD．
解：（2）取PD中點H，連結AH、NH、AH，
∵O是CD中點，四邊形ABCD是平行四邊形，M、N分別是AB，PC的中點．
∴NH$\underset{∥}{=}$DO$\underset{∥}{=}$AM，∴四邊形AMNH是平行四邊形，
∴AH∥MN，∴∠HAD是異面直線MN與AD夾角，
∵三角形ADP中AD=AP=5，PD=6，∴DH=3，
∴cos$∠ADP=\frac{A{D}^{2}+P{D}^{2}-A{P}^{2}}{2×AD×PD}$=$\frac{25+36-25}{2×5×6}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos$∠ADH=\frac{A{D}^{2}+D{H}^{2}-A{H}^{2}}{2×AD×DH}$=$\frac{25+9-A{H}^{2}}{2×5×3}$=$\frac{3}{5}$，解得AH=4，
∴cos∠HAD=$\frac{A{H}^{2}+A{D}^{2}-H{D}^{2}}{2×AH×AD}$=$\frac{16+25-9}{2×4×5}$=$\frac{4}{5}$．
∴異面直線MN與AD夾角的余弦值為$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．