Question

將函數(shù)y=f′（x）cosx的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得到函數(shù)y=1-2sin²x的圖象，則f（x）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先將函數(shù)y=f′（x）cosx的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位使其等于y=1-2sin²x，然后根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的正弦公式化簡整理可求得到f′（x+

π

4

）的關(guān)系式，再由平移的知識(shí)得到f′（x）的解析式，最后根據(jù)微積分的知識(shí)得到函數(shù)f（x）的解析式．

解答： 解：將函數(shù)y=f′（x）cosx的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位得到y(tǒng)=1-2sin²x，
又因?yàn)閒′（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=f′（x+

π

4

）×

2

2

（cosx-sinx）
=1-2sin²x=cos2x=cos²x-sin²x，
∴f′（x+

π

4

）=

2

（cosx+sinx）=2sin（x+

π

4

），
∴f′（x）=2sinx，∴f（x）=-2cosx，
故答案為：-2cosx．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的平移、二倍角公式、兩角和與差的正弦公式和微積分的有關(guān)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用能力，屬于基礎(chǔ)題．