Question

（文科）數(shù)列{ a_n }中，a₁=t，a₂=t²，（t≠1）．x=是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點．
（1）證明數(shù)列[a_n-1-a_n]是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=2（1-），當t=2時，數(shù)列{bn}的前n項和為S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)在 的導數(shù)等于零尋找a_n+1，a_n，a_n-1之間的關系，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義進行證明；在此基礎上求出數(shù)列a_n+1-a_n的通項公式，按照迭加的方法即可求出a_n．
（2）求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n是解決本題的關鍵，根據(jù)已知條件確定出關于n的不等式，通過解不等式求出正整數(shù)n的最小值；
解答：解析：（1）f’（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]（n≥2）
由題可知f’（）=0即3a_n-1（）²-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0 （n≥2）
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1 ） （n≥2）
∵t＞0且t≠1，a₂-a₁=t（t-1）≠0
∴數(shù)列{ a_n+1-a_n }=（t²-t）t^n-1=（t-1）tⁿ
∴a₂-a₁=（t-1）t，a₃-a₂=（t-1）t²，…a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式兩別分別相加得a_n-a₁=（t-1）（t+t²+…+t^n-1）
∴a_n=tⁿ（n≥2）
當n=1時成立∴a_n=tⁿ
當n=2時成立∴b_n=2-，
∴S_n=2n-（ 1+++…+）=2n-
=2n-2（ 1-）=2n-2+
又S_n+1-S_n=2-＞0，所以數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列
S_n＞2010，得2n-2+2（）ⁿ＞2010，n+（）ⁿ＞1006
當n≤1005時，n+（）ⁿ＜1006
當n≥1006時，n+（）ⁿ＞1006
因此當S_n＞2010時，n的最小值為1006．
點評：本題屬于函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合問題，首先通過數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，得出數(shù)列某些項之間的關系，然后利用數(shù)列的知識實現(xiàn)求通項和求前n項和的計算，考查分析法證明不等式的思想和意識．