Question

11．某人有一容積為V，高為a且裝滿了油的直三棱柱形容器，不小心將該容器掉在地上，有兩處破損并發(fā)生滲漏，其位置分別在兩條側(cè)棱上且距下底面高度分別為b、c的地方，且容器蓋也被摔開了（蓋為上底面），為減少油的損失，此人采用破口朝上，傾斜容器的方式拿回家，估計容器內(nèi)的油最理想的剩余量是多少．（容器壁的厚度忽略不計）

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)直三棱柱的底面面積為S，則V=aS．當ADE平面為水平面時，容器內(nèi)的油是最理想的剩余量．連接AB₁，AC₁.${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$aS=$\frac{1}{3}V$．設(shè)${V}_{A-DE{C}_{1}{B}_{1}}$=V₁，V_A-BCED=V₂．可得$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{S}_{DE{C}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{BCED}}$=$\frac{b+c}{a-c+a-b}$，${V}_{1}+{V}_{2}=\frac{2}{3}V$，解出V₁即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)直三棱柱的底面面積為S，則V=aS．
當ADE平面為水平面時，容器內(nèi)的油是最理想的剩余量．
連接AB₁，AC₁．
${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$aS=$\frac{1}{3}V$．
設(shè)${V}_{A-DE{C}_{1}{B}_{1}}$=V₁，V_A-BCED=V₂．
則$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{S}_{DE{C}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{BCED}}$=$\frac{b+c}{a-c+a-b}$，${V}_{1}+{V}_{2}=\frac{2}{3}V$，
解得V₁=$\frac{b+c}{3a}V$．
∴V₁+${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{b+c}{3a}V$+$\frac{1}{3}V$=$\frac{a+b+c}{3a}V$．
因此，容器內(nèi)的油的最理想的剩余量是$\frac{a+b+c}{3a}V$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、分割計算體積，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．