Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設圓T的圓心T（0，t）在x軸上方，且圓T經過橢圓C兩焦點．點P為橢圓C上的一動點，PQ與圓T相切于點Q．
①當Q（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）時，求直線PQ的方程；
②當PQ取得最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$時，求圓T方程．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設圓T方程為x²+（y-t）²=1+t²，①把Q的坐標代入圓的方程，解得t，由切線的性質，可得所求直線的斜率，進而得到PQ的方程；
②設P（x₀，y₀）（-1≤y₀≤1），運用勾股定理求得切線長，討論t的范圍，即可得到最大值，進而得到圓的方程．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=c，
∵橢圓C過點M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）圓T半徑r=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，圓T方程為x²+（y-t）²=1+t²，
∵PQ與圓T相切于點Q，∴QT⊥PQ，
①把Q（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入圓T方程，解得t=$\frac{1}{2}$，
求得k_QT=2，
∴直線PQ的方程為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$；
②設P（x₀，y₀）（-1≤y₀≤1），
∵QT⊥PQ，
∴PQ²=PT²-QT²=x₀²+（y₀-t）²-（1+t²），
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²=1，∴PQ²=-（y₀+1）²+（1+t²），
當t≥1時，且當y₀=-1時，PQ²的最大值為2t，
則2t=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{5}{4}$，解得t=$\frac{5}{8}$（舍），
當0＜t＜1時，且當y₀=t時，
PQ²的最大值為1+t²，則t²+1=$\frac{5}{4}$解得t=$\frac{1}{2}$（合）
綜上t=$\frac{1}{2}$，圓T方程為x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和圓的位置關系，及圓的方程的求法，注意圓的性質和勾股定理，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．