Question

18．關(guān)于曲線C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1的下列說法正確的有①②④⑤．
①關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱；
③是封閉圖形，面積大于2π；
④不是封閉圖形，與圓x²+y²=2無公共點(diǎn)；
⑤與曲線D：|x|+|y|=2$\sqrt{2}$有且只有四個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

分析 分析關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)（x，y）點(diǎn)（-x，-y），是否都在曲線上，可判斷①；分析關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)（x，y）點(diǎn)（-y，-x），是否都在曲線上，可判斷②； 聯(lián)立方程，可判斷③④⑤．

解答 解：將方程中的x換成-x，y換成-y方程不變，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；
將方程中的x換成-y，y換成-x，方程變?yōu)?\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1與原方程相同，故②正確；
不是封閉圖形，與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，故③不正確；
④曲線C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1與圓x²+y²=2聯(lián)立，無解，所以與圓x²+y²=2無公共點(diǎn)，正確；
⑤x＞0，y＞0時(shí)，曲線D：x+y=2$\sqrt{2}$與曲線C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1只有一個(gè)公共點(diǎn)（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），根據(jù)對(duì)稱性，可得與曲線D：|x|+|y|=2$\sqrt{2}$有且只有四個(gè)公共點(diǎn)，正確．
故答案為：①②④⑤．
故答案為：①②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是曲線C：$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$=1的圖象和性質(zhì)，對(duì)稱性的判斷，面積的求解，難度中檔．