Question

3．已知圓M的圓心在x軸上，圓M與直線y+2=0相切，且被直線x-y+2=0截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．
（1）求圓M的方程；
（2）已知F（$\sqrt{3}$，0），圓M在第一象限上的點(diǎn)P在x軸上的射影為Q，E為PQ中點(diǎn)，過(guò)E引圓x²+y²=1的切線，并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)N，證明：|EF|+|EN|為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓的圓心為M（a，0），由題意圓的半徑為r=2，利用被直線x-y+2=0截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，建立方程，求出a，即可求圓M的方程；
（2）分別求出|RN|，|EF|，|ER|，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)圓的圓心為M（a，0），由題意圓的半徑為r=2，
∵被直線x-y+2=0截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，
∴$（\frac{|a+2|}{\sqrt{2}}）^{2}+2=4$，
解得a=-4或0，
∴圓M的方程為（x+4）²+y²=4或x²+y²=4；
（2）證明：由題意，滿足要求的圓M的方程為x²+y²=4．
設(shè)P（x，y），則E（x，$\frac{y}{2}$），
記直線EN與圓M相切于點(diǎn)R，則|RN|=$\sqrt{O{N}^{2}-O{R}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
|EF|=$\sqrt{（\sqrt{3}-x）^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}}$=$\frac{4-\sqrt{3}}{2}x$，|ER|=$\sqrt{O{E}^{2}-O{R}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴|EF|+|EN|=|EF|+ER|+|RN|=$\frac{4-\sqrt{3}}{2}x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．