Question

4．已知函數(shù)f（x）=2|x+a|-|x-1|（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）與x軸圍成的三角形面積的最小值為4，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任意的x∈R都有f（x）+2≥0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）分段函數(shù)的形式，求出A，B，C的坐標，從而表示出三角形的面積，求出a的范圍即可；（2）求出f（x）的最小值，從而得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-2a-1，x＜-a}\\{3x+2a-1，-a≤x＜1}\\{x+2a+1，x≥1}\end{array}\right.$，
如圖示：
函數(shù)f（x）與x軸圍成的△ABC，求得：
A（-2a-1，0），B（$\frac{1-2a}{3}$，0），C（-a，-a-1），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$[$[（\frac{1-2a}{3}）-（-2a-1）]×|-a-1|$=$\frac{2}{3}$（a+1）²≥4（a＞0），
解得：a≥$\sqrt{6}$-1；
（2）由（1）得：f（x）_min=f（-a）=-a-1，
對任意x∈R，都有f（x）+2≥0，即（-a-1）+2≥0，
解得：0＜a≤1．

點評 本題考查了絕對值函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及解不等式問題，是一道中檔題．