Question

7．在極坐標(biāo)系中，已知直線$l：ρsin（θ+\frac{π}{4}）=2$與圓O：ρ=4．
（1）分別求出直線l與圓O對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)系中的方程；
（2）求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先利用三角函數(shù)的和角公式展開(kāi)直線的極坐標(biāo)方程的左式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得直角坐標(biāo)方程，
（2）利用直角坐標(biāo)中直線與圓的關(guān)系求出截得的弦長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）∵ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2，
∴ρsinθ+ρcosθ=2$\sqrt{2}$，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴化成直角坐標(biāo)方程為：x+y-2$\sqrt{2}$=0，
圓ρ=4化成直角坐標(biāo)方程為x²+y²=16，
（2）圓心到直線的距離為：d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}×0+\frac{\sqrt{2}}{2}×0-2|}{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}$=2，
∴截得的弦長(zhǎng)為：2$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．