Question

【題目】某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y＝ (其中a，b為常數(shù))模型．

(1)求a，b的值；

(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.

①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；

②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（1）由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（5，40），（20，2.5），將其分別代入y＝建立方程組，即可求a，b的值；（2）①求出切線l的方程，可得A，B的坐標(biāo)，即可寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；②設(shè)g(t)＝t2＋利用導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，即可求出當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，并求出最短長(zhǎng)度．

試題解析：

(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5)．

將其分別代入y＝，

得解得，

(2)①由(1)知，y＝ (5≤x≤20)，

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，

y軸分別于A，B點(diǎn)，y′＝－，

則l的方程為

y－＝－ (x－t)，

由此得A，B.

故f(t)＝＝ ，t∈[5,20]．

②設(shè)g(t)＝t2＋，則g′(t)＝2t－.

令g′(t)＝0，解得t＝10.

當(dāng)t∈(5,10)時(shí)，g′(t)<0，g(t)是減函數(shù)；

當(dāng)t∈(10，20)時(shí)，g′(t)>0，g(t)是增函數(shù)．

從而，當(dāng)t＝10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，

所以g(t)min＝300，此時(shí)f(t)min＝15.

答　當(dāng)t＝10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米．