Question

20．如圖所示，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，PA⊥平面ABC，點E為線段PB的中點，點M為BC的中點．
（1）求證：平面EOM∥平面PAC；
（2）求證：平面PAC⊥平面PCB；
（3）若PA=AB=2，∠CAB=60°，求二面角P-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得OM∥AC，EM∥PC，由此能證明面EOM∥平面PAC．
（2）推導出AC⊥BC，BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC，由此能證明平面PAC⊥平面PCB．
（3）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-BC-A的余弦值．

解答 證明：（1）∵AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，點E為線段PB的中點，點M為BC的中點，
∴OM∥AC，EM∥PC，
∵AC∩PC=C，OM∩EM=M，AC、PC?平面PAC，OM、EM?平面EOM，
∴面EOM∥平面PAC．
（2）∵AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，
∴AC⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PCB，
∴平面PAC⊥平面PCB．
（3）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
B（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，0），P（1，0，2），
$\overrightarrow{CB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（1，0，2），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=x+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角P-BC-A的平面角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角P-BC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查面面平行、面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．