Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點P（x₀，4）是C上一點，且|PF|=4．
（1）求點P的坐標(biāo)和拋物線C的方程．
（2）拋物線C上異于點P的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），若直線PA與直線PB的傾斜角互補，求證直線AB的斜率k_AB的值等于-1．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點P（x₀，4），由已知條件得x₀+$\frac{p}{2}$=4，4²=2px₀，由此能求出拋物線的方程為y²=8x．
（2）設(shè)出直線PA，PB的斜率，把A，P點代入拋物線的方程相減后，表示出兩直線的斜率，利用其傾斜角互補推斷出y₁+y₂=-2y₀，同樣把把A，B點代入拋物線的方程相減后，表示出AB的斜率，將y₁+y₂=-2y₀代入求得結(jié)果為非零常數(shù)．

解答 （1）解：∵點P（x₀，4）是C上一點，|PF|=4，
∴由拋物線的定義得x₀+$\frac{p}{2}$=4．
又∵4²=2px₀，二式聯(lián)立解得x₀=2，p=4．
故此拋物線的方程為y²=8x；
（2）證明：設(shè)直線AB的斜率為k_AB
設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB
由y₁²=8x₁，y₀²=8x₀
相減得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）
故k_PA=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{0}}$（x₁≠x₀）
同理可得k_PB=$\frac{8}{{y}_{2}+{y}_{0}}$（x₂≠x₀）
由PA，PB傾斜角互補知k_PA=-k_PB
即$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{0}}$=-$\frac{8}{{y}_{2}+{y}_{0}}$
所以y₁+y₂=-2y₀
由y₂²=8x₂，y₁²=8x₁
相減得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=8（x₂-x₁）
所以k_AB=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$（x₁≠x₂）
將y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得k_AB=-1，所以直線AB的斜率k_AB的值等于-1．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查直線的斜率、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．