Question

已知函數(shù)f（x）=1+

3

x-2

，x∈[3，7]．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題設(shè)條件對(duì)任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可得出f（x）在R上是減函數(shù)；
（2）根據(jù)單調(diào)性得出函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在x∈[3，7]上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)3≤x₁＜x₂≤7，
則f（x₁）-f（x₂）=

3

x1-2

-

3

x2-2

=

3(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵x₁-x₂＜0，（x₁-2）（x₂-2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[3，7]上的單調(diào)遞減．
（2）由（1）知，∴當(dāng)x∈[3，7]時(shí)，f（x）_max=2，f（x）_min=

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，此類(lèi)題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問(wèn)題的組合來(lái)．