Question

7．直線y=kx-1與曲線2x²-y²=2有且僅有一個公共點，則k=±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，討論直線與漸近線平行和直線與雙曲線相切的條件，解方程即可得到所求值．

解答 解：雙曲線2x²-y²=2的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x，
當(dāng)直線y=kx-1與漸近線平行時，即k=±$\sqrt{2}$時，
與雙曲線有且僅有一個公共點；
當(dāng)直線y=kx-1與雙曲線相切，與雙曲線有且僅有一個公共點．
代入雙曲線的方程，可得（2-k²）x²+2kx-3=0，
由判別式4k²+12（2-k²）=0，
解得k=±$\sqrt{3}$，
綜上可得，k=±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{3}$．
故答案為：±$\sqrt{2}$或±$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用判別式為0，同時注意雙曲線的漸近線平行的直線，屬于中檔題和易錯題．