Question

16．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖的頻率分
布直方圖．
（1）求圖中實(shí)數(shù)a的值；
（2）若該校高一年級(jí)共有學(xué)生1000人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)．
（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出a的值．
（2）先求出數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的概率，由此能求出數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)．
（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）的學(xué)生為2人，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱90，100]的學(xué)生人數(shù)為4人，由此利用列舉法能求出這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得：
0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，
解得a=0.03．
（2）數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，
∴數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)為：
1000×0.85=850（人）．
（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）的學(xué)生為40×0.05=2（人），數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱90，100]的學(xué)生人數(shù)為40×0.1=4（人），
設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）的學(xué)生為A，B，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱90，100]的學(xué)生為a，b，c，d，
從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，
基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，
{bd}，{c，d}，
其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的情況有：
{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，
∴這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率為$\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．