【題目】已知函數(shù)

(1)若，當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為。

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，利用導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于方程有唯一實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與 的交點(diǎn)即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍。

（1）由題可得：，定義域?yàn)?/span>，

，

，

令得：或（舍去）

令得：或，結(jié)合定義域得：

令得：，結(jié)合定義域得：

的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為，

（2）函數(shù)有唯一的零點(diǎn)等價(jià)于只有唯一的實(shí)數(shù)根，

顯然，則只有唯一的實(shí)數(shù)根等價(jià)于關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)根，

構(gòu)造函數(shù) ，則，

令，解得： ，

令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

令，解得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；

的極小值為，

如圖，作出函數(shù)的大致圖像，則要使方程只有唯一實(shí)數(shù)根，只需要直線與曲線只有唯一交點(diǎn)，

或，解得：或，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為

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【題目】在正方體中邊長AB為2，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，Q為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，M，N分別為AB，BC上靠近A和C的三等分點(diǎn)，若線段與OP相交且互相平分，則點(diǎn)Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積為____．

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（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

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（1）證明：BC⊥AB1；

（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．

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【題目】如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為邊長為2的等邊三角形，，為中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）求點(diǎn)B到平面的距離．

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【題目】數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和為________．

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(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值．

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