【題目】已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a,b,c∈R+ .
(Ⅰ)若ab=1,證明:( + )2≥4;
(Ⅱ)若a+b+c=3,且 + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立,求x的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)證明:∵ab=1,∴( + )2=a2+b2+2≥2ab+2=4; (Ⅱ)解:( + + )2≤(1+1+1)(a+b+c)=9,
∵ + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立,
∴9≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3,
∴|2x﹣1|﹣|x﹣2|≥6,
x< ,不等式化為﹣2x+1+x﹣2≥6,∴x≤﹣7,∴x≤﹣7,
,不等式化為2x﹣1+x﹣2≥6,∴x≥3,不成立;
x>2,不等式化為2x﹣1﹣x+2≥6,∴x≥5,∴x≥5;
綜上所述,x≤﹣7或x≥5
【解析】(Ⅰ)利用基本不等式,即可證明結(jié)論;(Ⅱ)( + + )2≤(1+1+1)(a+b+c)=9, + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立,可得9≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3,分類討論,即可求x的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了不等式的證明的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有:比較法(作差,作商法)、綜合法、分析法;其它方法有:換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法,函數(shù)單調(diào)性法,數(shù)學(xué)歸納法等才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣ax+(3﹣a)lnx,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x﹣y+1=0垂直,求a的值;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:f(x1)+f(x2)>﹣5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣共有戶籍人口60萬人,該縣60歲以上、百歲以下的人口占比13.8%,百歲及以上的老人15人.現(xiàn)從該縣60歲及以上、百歲以下的老人中隨機(jī)抽取230人,得到如下頻數(shù)分布表:
年齡段(歲) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,99) |
人數(shù)(人) | 125 | 75 | 25 | 5 |
(1)從樣本中70歲及以上老人中采用分層抽樣的方法抽取21人進(jìn)一步了解他們的生活狀況,則80歲及以上老人應(yīng)抽多少人?
(2)從(1)中所抽取的80歲及以上的老人中,再隨機(jī)抽取2人,求抽到90歲及以上老人的概率;
(3)該縣按省委辦公廳、省人民政府辦公廳《關(guān)于加強(qiáng)新時(shí)期老年人優(yōu)待服務(wù)工作的意見》精神,制定如下老年人生活補(bǔ)貼措施,由省、市、縣三級財(cái)政分級撥款. ①本縣戶籍60歲及以上居民,按城鄉(xiāng)居民養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)施辦法每月領(lǐng)取55元基本養(yǎng)老金;
②本縣戶籍80歲及以上老年人額外享受高齡老人生活補(bǔ)貼.
(a)百歲及以上老年人,每人每月發(fā)放345元生活補(bǔ)貼;
(b)90歲及以上、百歲以下老年人,每人每月發(fā)放200元的生活補(bǔ)貼;
(c)80歲及以上、90歲以下老年人,每人每月發(fā)放100元的生活補(bǔ)貼.
試估計(jì)政府執(zhí)行此項(xiàng)補(bǔ)貼措施的年度預(yù)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐P﹣ABC的各頂點(diǎn)都在同一球的面上,且PA⊥平面ABC,若球O的體積為 (球的體積公式為 R3 , 其中R為球的半徑),AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則三棱錐P﹣ABC的體積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠BAD=90°,AB=AD= CD=1,如圖2,將△ABD沿BD折起來,使平面ABD⊥平面BCD,設(shè)E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為AC上一點(diǎn),O為BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;、
(Ⅱ)若三棱錐A﹣BEF的體積為 ,求二面角A﹣BE﹣F的余弦值的絕對值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , Sn=2an﹣3.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面四個(gè)命題中,真命題是( ) ①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每30分鐘從生產(chǎn)流水線中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測,這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣;
②兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1;
③兩個(gè)分類變量X與Y的觀測值κ2 , 若κ2越小,則說明“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大;
④隨機(jī)變量X~N(0,1),則P(|X|<1)=2P(X<1)﹣1.
A.①④
B.②④
C.①③
D.②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值;
(2)求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的不等式的解集為;
(1)若,求的取值范圍;
(2)若存在兩個(gè)不相等負(fù)實(shí)數(shù)、,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù),滿足:“對于任意,都有,對于任意的,都有”,若存在,求出的值,若不存在,說明理由.
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