Question

16．如表是關(guān)于某設(shè)備的使用年份x和所需要的維修費(fèi)用y （萬元）的幾組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

x（年份）	2012	2013	2014	2015	2016
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）利用公式（公式見卷首）求y對(duì)x的回歸直線方程；
（2）估計(jì)2020年，該設(shè)備維修費(fèi)用為多少？

Answer 1

分析 （1）先做出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，把平均數(shù)和條件中所給的兩組數(shù)據(jù)代入求解b的公式，做出b的值，再求出a的值，寫出回歸直線的方程．
（2）把x=2020代入直線的方程得到y(tǒng)=12.38，估計(jì)維修的費(fèi)用．這是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是正確數(shù)值

解答 解1：（1）$\bar x$=$\frac{1}{5}$（2012+2013+2014+2015+2016）=2014，
$\bar y$=$\frac{1}{5}$（2.2+3.8+5.5+6.55+7）=5，
$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}=12.3$，$\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}=10$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\bar x）}^2}}}}=1.23$$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=-2472.22$，
∴$所求的回歸直線方程為\hat y=1.23x-2472.22$
另解：設(shè)X=x-2014，Y=y-5.5  則

X	-2	-1	0	1	2
Y	-3.3	-1.7	0	1	1.5

$\bar X$=0，$\overline{Y}=-0.5$，
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{X_i}{Y_i}-5\bar X\bar Y}}}{{\sum_{i=1}^5{{X^2}_i-5{{\bar X}^2}}}}=\frac{12.3}{10}=1.23$，
$\hat a=\bar Y-\hat b\overline{X}=-0.5$，
∴$\hat Y=1.23X-0.5$，
∴$所求的回歸直線方程為\hat y-5.5=1.23（x-2014）-0.5$，
即$\hat y=1.23x-2472.22$…..（8分）
（2）當(dāng)x=2020時(shí)，$\hat y=12.38$（萬元）
∴估計(jì)2020年，該設(shè)備維修費(fèi)用為12.38萬元…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求解和應(yīng)用，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用最小二乘法來求線性回歸方程的系數(shù)．