Question

13．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線mx+y-1=0與過定點(diǎn)B的動(dòng)直線x-my+m+2=0交于點(diǎn)P（x，y），則|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的取值范圍為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由動(dòng)直線mx+y-1=0，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．|AB|=2．求出P的方程，當(dāng)PA⊥PB時(shí)，|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=|AB|²=4，利用基本不等式即可得出結(jié)果．

解答 解：由動(dòng)直線mx+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．
∵|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+0}$=2．
∴當(dāng)PA⊥PB時(shí)|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=|AB|²=4，
$\left\{\begin{array}{l}{mx+y-1=0}\\{x-my+m+2=0}\end{array}\right.$，可得P的軌跡方程為：x²+y²-2y+2x+1=0．圓心為（-1，1）半徑為1的圓，A，B在圓上，
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|≤$\sqrt{2（|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}）}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的最大值為2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線系、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．