對于無窮數(shù)列和函數(shù),若,則稱是數(shù)列的母函數(shù).
(Ⅰ)定義在上的函數(shù)滿足:對任意,都有,且;又?jǐn)?shù)列滿足:.
求證:(1)是數(shù)列的母函數(shù);
(2)求數(shù)列的前項.
(Ⅱ)已知是數(shù)列的母函數(shù),且.若數(shù)列的前項和為,求證:.

(Ⅰ)(1) 由題知,是數(shù)列的母函數(shù)
(2) (Ⅱ),從而是以為首項,為公比的等比數(shù)列
故當(dāng)時,有
,化簡得結(jié)論

解析試題分析:(Ⅰ)(1)由題知,且

.
是數(shù)列的母函數(shù);
(2) 由(1) 知:是首項和公差均為的等差數(shù)列,故.
           ①
      ②
①-②得:.
.
(Ⅱ)由題知:. .
從而是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
.

故當(dāng)時,有:

.
考點:信息題及數(shù)列求和
點評:求解本題首先要正確理解所給信息母函數(shù)的實質(zhì),將其性質(zhì)代入相應(yīng)的函數(shù)式中推理;第一問的數(shù)列求和用到了錯位相減法,這種方法是數(shù)列求和題常用到的方法,其適用于通項公式為關(guān)于n的一次函數(shù)式與指數(shù)式的乘積形式的數(shù)列

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù),數(shù)列滿足。
(1)求
(2)猜想數(shù)列的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明。

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已知數(shù)列中,,滿足
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前項和.

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已知數(shù)列,滿足:
(1)若,求數(shù)列的通項公式;
(2)若,且
① 記,求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
② 若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次,求首項應(yīng)滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)數(shù)列的前項和為,,,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知三次函數(shù)為奇函數(shù),且在點的切線方程為
(1)求函數(shù)的表達式;
(2)已知數(shù)列的各項都是正數(shù),且對于,都有,求數(shù)列的首項和通項公式;
(3)在(2)的條件下,若數(shù)列滿足,求數(shù)列的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)數(shù)列的前項和為,且方程有一個根為,
(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè)方程的另一個根為,數(shù)列的前項和為,求的值;
(3)是否存在不同的正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若存在,求出滿足條件的,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知為等比數(shù)列,;為等差數(shù)列的前n項和,.
(1) 求的通項公式;
(2) 設(shè),求.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

等差數(shù)列中,
(I)求的通項公式;
(II)設(shè),求數(shù)列的前n項和.

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