已知數(shù)列,滿足:
(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,且
① 記,求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
② 若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次,求首項(xiàng)應(yīng)滿足的條件.

(1)
(2)①根據(jù)等差數(shù)列的定義,證明相鄰兩項(xiàng)的差為定值來(lái)得到證明。從第二項(xiàng)起滿足題意即可。
②當(dāng),數(shù)列任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次

解析試題分析:解:(1)當(dāng)時(shí),有

也滿足上式,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.    4分
(2)①因?yàn)閷?duì)任意的,有,所以,
,
所以,數(shù)列為等差數(shù)列.                    8分
②設(shè)(其中為常數(shù)且,
所以,,
即數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.               10分
設(shè)
(其中中一個(gè)常數(shù))
當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,有;             12分
當(dāng)時(shí),
(Ⅰ)若,則對(duì)任意的,所以數(shù)列為遞減數(shù)列;
(Ⅱ)若,則對(duì)任意的,所以數(shù)列為遞增數(shù)列.
綜上所述,集合
當(dāng)時(shí),數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次;
當(dāng)時(shí),數(shù)列均為單調(diào)數(shù)列,任意一個(gè)數(shù)在這6個(gè)數(shù)列中最多出現(xiàn)一次,所以數(shù)列任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次.     18分
考點(diǎn):數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的概念
點(diǎn)評(píng):主要是考查了等差數(shù)列的概念和數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用,屬于難度題。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知數(shù)列中,,,若數(shù)列滿足.
(Ⅰ)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并寫出的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知點(diǎn)在函數(shù)圖象上,過(guò)點(diǎn)的切線的方向向量為>0).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并將化簡(jiǎn);
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若≤Sn對(duì)任意正整數(shù)n均成立,求實(shí)數(shù)的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

是等差數(shù)列,公差的前項(xiàng)和,已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令=,求數(shù)列的前項(xiàng)之和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列階“期待數(shù)列”:
;②
(1)若等比數(shù)列 ()階“期待數(shù)列”,求公比;
(2)若一個(gè)等差數(shù)列既是 ()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為
(。┣笞C:
(ⅱ)若存在使,試問(wèn)數(shù)列能否為階“期待數(shù)列”?若能,求出所有這樣的數(shù)列;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

對(duì)于無(wú)窮數(shù)列和函數(shù),若,則稱是數(shù)列的母函數(shù).
(Ⅰ)定義在上的函數(shù)滿足:對(duì)任意,都有,且;又?jǐn)?shù)列滿足:.
求證:(1)是數(shù)列的母函數(shù);
(2)求數(shù)列的前項(xiàng).
(Ⅱ)已知是數(shù)列的母函數(shù),且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知數(shù)列,a1=1,點(diǎn)在直線上.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求證:<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知數(shù)列{}滿足=1,=,(1)計(jì)算,,的值;(2)歸納推測(cè),并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的推測(cè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在數(shù)列中,,且.
(Ⅰ) 求,猜想的表達(dá)式,并加以證明;
(Ⅱ) 設(shè),求證:對(duì)任意的自然數(shù),都有;

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