Question

6．已知正三棱錐各棱長(zhǎng)為a，求：
（1）側(cè)棱和底面所成的角的余弦值；
（2）相鄰兩個(gè)面所成的角的余弦值；
（3）兩條不相交的棱所成的角；
（4）兩條不相交的棱之間的距離．

Answer 1

分析 （1）作VH⊥平面ABC于H，連結(jié)AH，不妨求棱VA與平面ABC所成的角．在Rt△VAH中直接計(jì)算即可；
（2）延長(zhǎng)AH交BC于D，連結(jié)VD，只求三棱錐V-ABC的側(cè)面VBC與底面所成的角即可，在Rt△VDH中，直接計(jì)算側(cè)面VBC與底面ABC所成的角∠VDH；
（3）只需求異面直線VA與BC所成的角．通過BC⊥平面VAD，直接得到結(jié)論；
（4）取VA中點(diǎn)E，連結(jié)DE，易得DE是異面直線VA與BC的公垂線段，在Rt△ADE中，利用勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）不妨求棱VA與平面ABC所成的角．
作VH⊥平面ABC于H，連結(jié)AH，
則∠VAH為VA與平面ABC所成的角，
∵H是正三角形ABC的中心，
∴AH=$\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴在Rt△VAH中，cos∠VAH=$\frac{AH}{VA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵正三棱錐一個(gè)側(cè)面與底面所成的角都相等，
∴只求三棱錐V-ABC的側(cè)面VBC與底面所成的角，
延長(zhǎng)AH交BC于D，連結(jié)VD，
∵VH⊥平面ABC，AD⊥BC，由三垂線定理，得VD⊥BC，
∴∠VDH為側(cè)面VBC與底面ABC所成的角．
在Rt△VDH中，HD=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，VD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴cos∠VDH=$\frac{HD}{VD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$；
（3）∵正四面體任意兩條相對(duì)的棱所成角相等，
∴只需求異面直線VA與BC所成的角．
∵AD⊥BC，VD⊥BC，
∴BC⊥平面VAD，
∴BC⊥VA，故VA與BC所成的角為90°；
（4）取VA中點(diǎn)E，連結(jié)DE，
∵BC⊥平面VAD，DE平面VAD，
∴BC⊥DE，
∵E是VA中點(diǎn)，AD=VD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴DE⊥VA，
∴DE是異面直線VA與BC的公垂線段．
在Rt△ADE中，AE=$\frac{1}{2}a$，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線角、線面角、二面角，考查線線之間的距離，注意解題方法的積累，屬于中檔題．