如圖16，四棱錐P ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
圖16
(1)求證：AB⊥PD.
(2)若∠BPC＝90°，PB＝
，PC＝2，問AB為何值時，四棱錐P ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．
解：(1)證明：因為ABCD為矩形，所以AB⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.
(2)過P作AD的垂線，垂足為O，過O作BC的垂線，垂足為G，連接PG.
故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.
在Rt△BPC中，PG＝
，GC＝
，BG＝
.
設AB＝m，則OP＝
＝
，故四棱錐P ABCD的體積為
V＝
×
·m·＝
.
因為m＝
＝
，
所以當m＝，即AB＝時，四棱錐P ABCD的體積最大．
此時，建立如圖所示的空間直角坐標系，各點的坐標分別為O(0，0，0)，B
，C
，D
，P
，故
＝
，
＝(0，，0)，CD＝
.
設平面BPC的一個法向量為n1＝(x，y，1)，
則由n1⊥，n1⊥，得
解得x＝1，y＝0，則n1＝(1，0，1)．
同理可求出平面DPC的一個法向量為n2＝
.
設平面BPC與平面DPC的夾角為θ，則cos θ＝
＝
＝
.
培優(yōu)口算題卡系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
設連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率；
(3)求使得事件“直線y＝
x與圓(x－3)2＋y2＝1相交”發(fā)生的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)，現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標號．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
如圖13，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
(1)證明：PB∥平面AEC；
(2)設二面角DAEC為60°，AP＝1，AD＝
，求三棱錐EACD的體積．
圖13
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
如圖15，在四棱錐A BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
(1)證明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B AD E的大�。�
圖15
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
如圖14所示，在四棱錐P ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．
(1)證明：BE⊥DC；
(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F AB P的余弦值．
圖14
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為：
| X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| P | 0.02 | 0.04 | 0.06 | 0.09 | 0.28 | 0.29 | 0.22 |
則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為( )
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
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B．16π C．9π D.
