如圖1­3，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

(1)證明：PB∥平面AEC；

(2)設二面角D­AE­C為60°，AP＝1，AD＝，求三棱錐E­ACD的體積．

圖1­3


解：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接EO.

因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．

又E為PD的中點，所以EO∥PB.

因為EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因為PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，

所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為坐標原點，，AD，AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，||為單位長，建立空間直角坐標系A­xyz，則D，E，＝.

設B(m，0，0)(m>0)，則C(m，，0)，＝(m，，0)．

設n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，

則即

可取n1＝.

又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量，

由題設易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得m＝.

因為E為PD的中點，所以三棱錐E­ACD的高為.三棱錐E­ACD的體積V＝××××＝.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


設集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為(　　)

A．3                                    B．4

C．2和5                                D．3和4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


．如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)＝(　　)

A.                                  B.

C.                                  D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


幾何體的三視圖(單位：cm)如圖1­1所示，則此幾何體的表面積是(　　)

圖1­1

A．90 cm2  B．129 cm2  C．132 cm2  D．138 cm2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


 在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖1­5所示．

(1)求證：AB⊥CD；

(2)若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

圖1­5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


 如圖1­6，四棱錐P ­ ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

圖1­6

(1)求證：AB⊥PD.

(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，問AB為何值時，四棱錐P ­ ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


如圖1­1所示，三棱柱ABC ­ A1B1C1中，點A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

(1)證明：AC1⊥A1B;

(2)設直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1 ­ AB ­ C的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


已知二面角α­l­β為60°，AB⊂α，AB⊥l，A為垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為(　　)

A.  B. 

C.  D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：


現(xiàn)有編號分別為1,2,3,4,5的五道不同的政治題和編號分別為6,7,8,9的四道不同的歷史題．甲同學從這九道題中一次性隨機抽取兩道題，每道題被抽到的概率是相等的，用符號(x，y)表示事件“抽到的兩道題的編號分別為x、y，且x<y”．

(1)問有多少個基本事件，并列舉出來；

(2)求甲同學所抽取的兩道題的編號之和小于17但不小于11的概率．

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