Question

3．若函數(shù)f（x）=x³+2x²+x+a的零點(diǎn)成等差數(shù)列，則a=$\frac{2}{27}$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，由于函數(shù)f（x）=x³+2x²+x+a的零點(diǎn)成等差數(shù)列，可得極大值與極小值滿足的條件．

解答 解：f′（x）=3x²+4x+1=0，
令f′（x）=0，解得x=-1或-$\frac{1}{3}$．
可知：-1或-$\frac{1}{3}$分別是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)．
∵函數(shù)f（x）=x³+2x²+x+a的零點(diǎn)成等差數(shù)列，
∴$f（-\frac{1}{3}）+f（-1）$=0，
∴$（-\frac{1}{3}）^{3}$+2×$（-\frac{1}{3}）^{2}$-$\frac{1}{3}$+a+（-1）³+2×（-1）²-1+a=0，
解得a=$\frac{2}{27}$．
故答案為：$\frac{2}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．