已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),則當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在時(shí),其乘積恒為定值.類比橢圓,寫出雙曲線C′:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的類似性質(zhì),并加以證明.
若M、N是雙曲線C′:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),P是雙曲線上任意一點(diǎn),則當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在時(shí),其乘積恒為定值
b2
a2
.證明如下:
設(shè)P(m,n)是雙曲線C′上的任意一點(diǎn),M(x0,y0),N(-x0,-y0)是雙曲線上的關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn).
m2
a2
-
n2
b2
=1
x20
a2
-
y20
b2
=1
,
n2-
y20
=b2(
m2
a2
-1)-b2(
x20
a2
-1)
=
b2
a2
(m2-
x20
)

∴kPM•kPN=
n-y0
m-x0
n+y0
m+x0
=
n2-
y20
m2-
x20
=
b2
a2
為定值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若雙曲線
x2
a2
-y2=1過點(diǎn)P(2
2
,1),則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(  )
A.(±
3
,0)
B.(±
5
,0)
C.(0,±
3
D.(0,±
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知F1、F2是雙曲線16x2-9y2=144的焦點(diǎn),P為雙曲線上一點(diǎn),若|PF1||PF2|=32,則∠F1PF2=(  )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
2
D.
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F1(0,-2
2
),F(xiàn)2(0,2
2
),且離心率e=
2
,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1
的兩個焦點(diǎn)F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線上,若PF1⊥PF2,則△PF1F2面積是(  )
A.16B.32C.25D.50

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn),過點(diǎn)F2的直線交雙曲線C的一支于A,B兩點(diǎn),若△ABF1為等邊三角形,則雙曲線C的離心率為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若△ABF2是鈍角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

求與雙曲線x2-4y2=4有共同的漸近線,并且經(jīng)過點(diǎn)(2,
5
)
的雙曲線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,離心率e=
3
,一條準(zhǔn)線的方程為3x-
6
=0
,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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同步練習(xí)冊答案