Question

5．如圖，矩形ACFE⊥底面ABCD，底面ABCD為等腰梯形，且AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CF．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）當點M在線段EF上運動時，求平面MAB與平面FCB所成銳二面角余弦的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直得CF⊥BC，由余弦定理得AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面ACFE．
（2）建立分別以直線CA、CB、CF為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系，利用向量法能求出平面MAB與平面FCB所成銳二面角余弦的取值范圍．

解答 證明：（1）平面ACFE⊥平面ABCD且平面ACFE∩平面ABCD=AC，
又∵矩形ACFE中，CF⊥AC∴CF⊥平面ABCD，
∴CF⊥BC，
∵底面ABCD為等腰梯形，且AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CF，設(shè)AB=2，∠ABC=θ，
∴AC²=AD²+CD²+2•AD•CD•cosθ=AB²+BC²-2•AB•BC•cosθ，
∴1+1+2cosθ=4+1-4cosθ，解得cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°．
∴AC=$\sqrt{1+1+2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又AC∩FC=C，∴BC⊥平面ACFE．
解：（2）由（1）可建立分別以直線CA、CB、CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標系，
令EM=λ（0$≤λ≤\sqrt{3}$），則C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（λ，-1，1）．
設(shè)$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z）為平面MAB的一個法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BM}=λx-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}-λ）$，
∵$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，0）是平面FCB的一個法向量，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-λ）^{2}}×1}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\sqrt{3}）^{2}}+4}$，
∵0$≤λ≤\sqrt{3}$，∴當λ=0時，cosθ有最小值$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
當$λ=\sqrt{3}$時，cosθ有最大值$\frac{1}{2}$，∴cosθ∈[$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{1}{2}$]．
∴平面MAB與平面FCB所成銳二面角余弦的取值范圍是[$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查面面角的余弦值的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．