Question

某廠花費(fèi)50萬元買回一臺(tái)機(jī)器，這臺(tái)機(jī)器投入生產(chǎn)后每天要付維修費(fèi)．已知第n（n∈N^*）天應(yīng)付維修費(fèi)為

1

4

（n-1）+500元，機(jī)器從投產(chǎn)到報(bào)廢共付的維修費(fèi)與購買機(jī)器費(fèi)用的和平均分?jǐn)偟矫恳惶�，叫做每天的平均損耗，當(dāng)平均損耗達(dá)到最小值時(shí)，機(jī)器應(yīng)當(dāng)報(bào)廢．
（Ⅰ）求前n天維修費(fèi)用總和；
（Ⅱ）將每天的平均損耗y（元）表示為投產(chǎn)天數(shù)n的函數(shù)；
（Ⅲ）求機(jī)器使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)a_n=

1

4

（n-1）+500，則{a_n}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為500，公差為

1

4

，可得前n天維修費(fèi)用總和；
（Ⅱ）將前n天維修費(fèi)用總和與設(shè)備成本相加，除以總天數(shù)即可得到函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）利用基本不等式求最值，即可得出結(jié)論．．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)a_n=

1

4

（n-1）+500，則{a_n}為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為500，公差為

1

4

…（2分）
所以前n天維修費(fèi)用總和S_n=

n[500+ 1 4 (n-1)+500]

2

=

1

8

n2+

3999

8

n（n∈N^*）…（4分）
（Ⅱ）y=

1

n

（

1

8

n2+

3999

8

n+500000）=

n

8

+

500000

n

+

3999

8

（n∈N^*） …（9分）
（Ⅲ）∵

n

8

+

500000

n

≥500，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

8

=

500000

n

，即n=2000時(shí)，y取到最小值
答：機(jī)器使用到2000天時(shí)應(yīng)到報(bào)廢．                              …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查平均損耗，考查了函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．