Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）+$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 該函數(shù)的值域是[-1，1]
• B． 當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）時(shí)，f（x）＜0
• C． 當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值
• D． 該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）成分段函數(shù)去掉絕對(duì)值．結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)直接判斷即可得到答案．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（sinx+cosx）+$\frac{1}{2}$|sinx-cosx|，
可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，（sinx＜cosx）}\\{cosx，（sinx≥cosx）}\end{array}\right.$
可知函數(shù)的周期為2π，故D不對(duì)．
由正余弦函數(shù)圖象可得：函數(shù)的值域?yàn)閇-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，故A不對(duì)．
從圖象可知：當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）時(shí)，f（x）＜0，故B對(duì)．
當(dāng)x=$2kπ+\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故C不對(duì)．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．屬于中檔題．