【題目】如圖,已知橢圓 的離心率為, 為橢圓的右焦點(diǎn), .

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)為原點(diǎn), 為橢圓上一點(diǎn), 的中點(diǎn)為,直線與直線交于點(diǎn),過,交直線于點(diǎn),求證: .

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:(1)由題中條件要得兩個等式,再由橢圓中的等式關(guān)系可得的值,求得橢圓的方程;

(2)可設(shè)直線的方程,聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系得,所以直線的方程是 .令,得, 得直線的斜率是 ,問題得解.

試題解析:

(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為.依題意,得

解得 , .所以 ,所以橢圓方程

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得 .設(shè)的中點(diǎn),

設(shè)直線的方程為: ,將其代入橢圓方程,整理得

,所以 .所以 , ,

.所以直線的斜率是 ,

所以直線的方程是 .令,得

,得直線的斜率是 ,

因?yàn)?/span>,所以直線的斜率為,所以直線

解法二:由(Ⅰ)得 .設(shè),其中

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為,所以 .所以直線的斜率是 ,所以直線的方程是 .令,得

,得直線的斜率是 .因?yàn)橹本的斜率是 ,所以 ,所以 .因?yàn)?,所以

點(diǎn)晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想,另一方面要結(jié)合已知條件,從圖形角度求解.聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長;涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算;涉及過焦點(diǎn)的弦的問題,可考慮用圓錐曲線的定義求解.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,四邊形為梯形, 平面, , , 中點(diǎn).

(1)求證:平面平面;

(2)線段上是否存在一點(diǎn),使平面?若有,請找出具體位置,并進(jìn)行證明:若無,請分析說明理由.

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【題目】對于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.

(1)已知二次函數(shù),試判斷是否為“局部奇函數(shù)”?并說明理由;

(2)若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若為定義域上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量,可以使用以下方法:先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝,例如200只,給每只天鵝做上不影響其存活的記號,然后放回保護(hù)區(qū),經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間,讓其和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合,再從保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝,例如150只,查看其中有記號的天鵝,設(shè)有20只,試根據(jù)上述數(shù)據(jù),估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量.

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【題目】某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn), 兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)類產(chǎn)品5件和類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)類產(chǎn)品6件和類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為300元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為400元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)類產(chǎn)品50件, 類產(chǎn)品140件,則所需租賃費(fèi)最少為__________元.

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【題目】如圖,已知橢圓 的離心率為, 為橢圓的右焦點(diǎn), , .

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)為原點(diǎn), 為橢圓上一點(diǎn), 的中點(diǎn)為,直線與直線交于點(diǎn),過,交直線于點(diǎn),求證: .

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【題目】媒體為調(diào)查喜歡娛樂節(jié)目是否與性格外向有關(guān),隨機(jī)抽取了400名性格外向的和400名性格內(nèi)向的居民,抽查結(jié)果用等高條形圖表示如下圖:

(1)填寫完整如下列聯(lián)表;

(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡娛樂節(jié)目與性格外向有關(guān)?

參考數(shù)據(jù)及公式:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議.現(xiàn)對他前次考試的數(shù)學(xué)成績、物理成績進(jìn)行分析.下面是該生次考試的成績.

數(shù)學(xué)

108

103

137

112

128

120

132

物理

74

71

88

76

84

81

86

(Ⅰ)他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定?請給出你的說明;

(Ⅱ)已知該生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的,求物理成績與數(shù)學(xué)成績的回歸直線方程

(Ⅲ)若該生的物理成績達(dá)到90分,請你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績大約是多少?

(附:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知, )展開式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1.

(1)求的值;

(2)展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)?若有,求出常數(shù)項(xiàng);若沒有,請說明理由;

(3)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

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