Question

3．已知函數(shù) f （x）=sinx-xcosx．現(xiàn)有下列結(jié)論：
①?x∈[0，π]，f（x）≥0；
②若0＜x₁＜x₂＜π，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{sin{x_1}}}{{sin{x_2}}}$；
③若a＜$\frac{sinx}{x}$＜b對(duì)?x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，則 a的最大值為$\frac{2}{π}$，b 的最小值為1．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 （1）?x∈[0，π]，f′（x）≥0，故函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故f（x）≥f（0）=0．
（2）令F（x）+$\frac{sinx}{x}$，求得F′（x），從而可判斷F（x）＜0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)，從而得出$\frac{si{nx}_{1}}{{x}_{1}}$＞$\frac{si{nx}_{2}}{{x}_{2}}$，可得結(jié)論．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，a＜$\frac{sinx}{x}$＜b”等價(jià)于“sinx-ax＞0，sinx-bx＜0”構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx-cx，通過(guò)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論參數(shù)c求出函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出a，b的最值．

解答 解：∵函數(shù) f （x）=sinx-xcosx，∴函數(shù) f′（x）=cosx-cosx-x（-sinx）=xsinx，
∴?x∈[0，π]，f′（x）≥0，故函數(shù)f（x）在[0，π]上為增函數(shù)，故f（x）≥f（0）=0，故①正確．
∵F′（x）=${（\frac{sinx}{x}）}^{′}$=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，x∈[0，π]，從而可判斷F（x）＜0，f′（x）為減函數(shù)，
若0＜x₁＜x₂＜π，則$\frac{si{nx}_{1}}{{x}_{1}}$＞$\frac{si{nx}_{2}}{{x}_{2}}$，即 $\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{{sin{x_1}}}{{sin{x_2}}}$，故②正確．
當(dāng)x＞0時(shí)，“$\frac{sinx}{x}$＞a”等價(jià)于“sinx-ax＞0”，“$\frac{sinx}{x}$＜b”等價(jià)于“sinx-bx＜0”．
令g（x）=sinx-cx，則g′（x）=cosx-c，
當(dāng)c≤0時(shí)，g（x）＞0對(duì)x∈[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
當(dāng)c≥1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，g′（x）=cosx-c＜0，
所以g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，
從而，g（x）＜g（0）=0對(duì)任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
當(dāng)0＜c＜1時(shí)，存在唯一的x₀∈[0，$\frac{π}{2}$）使得g′（x₀）=cosx₀-c=0，
g（x）與g′（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的情況如下：

x	（0，x0）	x0	[x0，$\frac{π}{2}$]
g′（x）	+		-
g（x）	↑		↓

因?yàn)間（x）在區(qū)間（0，x₀）上是增函數(shù)，
所以g（x₀）＞g（0）=0進(jìn)一步g（x）＞0對(duì)任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)g（$\frac{π}{2}$）=1-$\frac{πc}{2}$≥1，即0＜c≤$\frac{2}{π}$，
綜上所述當(dāng)且僅當(dāng)c≤$\frac{2}{π}$時(shí)，g（x）＞0對(duì)任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]）恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時(shí)，g（x）＜0對(duì)任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]恒成立，
所以若a＜$\frac{sinx}{x}$＜b對(duì)x∈[0，$\frac{π}{2}$]上恒成立，則a的最大值為$\frac{2}{π}$，b的最小值為1，故③正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，特別考查了構(gòu)造函數(shù)的方法證明不等式，屬于難題．